三次方根从一至八百万第18章 lg的名字与ln的名字

“lg”与“ln”：对数世界中的双子星——以10为底与以e为底的命名渊源与科学意义在数学的浩瀚星空中对数（logarithm）犹如一颗璀璨的星辰自17世纪初由苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier）发明以来便深刻地改变了人类计算世界的方式。

而在对数家族中有两个特别的名字尤为引人注目：lg 与 ln。

它们分别代表以10为底的对数和以自然常数e为底的对数。

这两个符号虽仅由两个字母构成却承载着深厚的数学历史、科学逻辑与文化演变。

本文将深入探讨“lg”与“ln”的命名由来、数学意义、应用领域以及它们在科学与工程中的独特地位全面解析这对“对数双子星”的前世今生。

一、“lg”：以10为底的对数——十进制世界的语言“lg”是“logarithm base 10”的缩写通常写作 lg(x) 或 log??(x)。

在数学和工程领域lg 表示以10为底的对数即：若 10^y = x则 y = lg(x)。

命名来源与历史背景“lg”这一符号的形成源于“logarithm”一词的缩写。

其中“l”取自“log”“g”则可能源于“general”或“mon”意指“常用对数”（mon logarithm）。

在17世纪纳皮尔与亨利·布里格斯（Henry Briggs）合作改进了对数系统布里格斯主张采用以10为底的对数因其与十进制计数系统高度契合便于实际计算。

这种以10为底的对数因此被称为“常用对数”（mon logarithm）而“lg”便成为其简洁的符号表示。

值得注意的是“lg”并非国际统一标准符号。

在某些文献中log(x) 默认表示以10为底的对数尤其是在工程、物理学和中学数学教育中。

但在高等数学和计算机科学中log(x) 常表示自然对数（即ln(x)）这容易造成混淆。

因此“lg”作为一种明确指代以10为底的对数的符号具有重要的区分意义。

数学特性与计算优势以10为底的对数之所以“常用”在于其与人类十进制计数系统的天然契合。

二、例如：lg(1) = 0因为 10? = 1；lg(10) = 1因为 101 = 10；lg(100) = 2因为 102 = 100；lg(0.1) = -1因为 10?1 = 0.1。

这种直观的指数关系使得lg在数量级分析、科学计数法和数据缩放中极为实用。

例如pH值的定义为 pH = -lg[H?]即氢离子浓度的负对数这使得从10?1?到10?的广阔浓度范围被压缩到0到14的线性尺度上极大方便了化学分析。

应用领域lg在多个领域中发挥着关键作用：工程学：在信号处理中分贝（dB）是衡量声音强度或信号增益的单位其定义基于lg。

例如声强级 L = 10 × lg(I/I?)其中I为声强I?为参考强度。

地震学：里氏震级（Richter scale）使用lg来衡量地震能量震级每增加1级能量约增加31.6倍（即10^1.5倍）。

计算机科学：在算法复杂度分析中虽然常用log?但lg也用于描述某些分治算法的时间复杂度如二分查找的O(lg n)。

数据可视化：对数坐标图（log plot）常使用lg尺度以展示跨越多个数量级的数据如人口增长、经济指标等。

三、“ln”：以e为底的对数——自然增长的语言“ln”是“logarithmus naturalis”的缩写源自拉丁语意为“自然对数”。

它表示以数学常数e（约等于2.）为底的对数记作 ln(x)。

若 e^y = x则 y = ln(x)。

命名来源。

与历史演变“ln”这一符号的出现与自然对数的历史发展密不可分。

尽管纳皮尔最早提出的对数并非以e为底但其工作为后来的数学家奠定了基础。

17世纪末瑞士数学家雅各布伯努利（Jacob Bernoull）在研究复利问题时首次发现了常数e的雏形。

他发现当利息连续复利时极限值趋近于一个特定常数即e。

后来莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在18世纪系统地研究了这个常数并将其命名为“e”（可能取自“exponential”或其姓氏首字母）。

欧拉还证明了自然对数与指数函数的深刻联系确立了ln在微积分中的核心地位。

“ln”作为符号最早出现在18世纪的数学文献中用以区别于常用对数。

其“自然”之名源于e在自然界中的普遍性：从人口增长、放射性衰变到金融复利许多自然过程都遵循指数规律而ln正是描述这些过程的数学工具。

数学特性与核心地位自然对数ln之所以“自然”在于其在微积分中的独特性质：ln(x) 的导数为 1/x这是所有对数函数中唯一具有如此简洁导数的形式。

四、指数函数 e^x 是其自身导数与ln(x)互为反函数构成微分方程求解的基础。

ln(x) 的积分形式 ∫(1/x)dx = ln|x| + C是基本积分公式之一。

此外ln在泰勒级数、复变函数、概率论等领域中也扮演着关键角色。

例如正态分布的概率密度函数中包含ln最大似然估计也常通过对ln似然函数求导来求解参数。

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