三次方根从一至八百万第35章 lg以10为底与ln以e为底的历史故事

在数学的浩瀚长河中对数的诞生是一次革命性的飞跃。

它不仅改变了人类处理复杂运算的方式更深刻地影响了科学、工程、天文学乃至现代技术的发展。

在众多对数体系中以10为底的常用对数（记作lg）和以自然常数e为底的自然对数（记作ln）尤为突出。

它们分别代表了“实用主义”与“理论之美”的两种数学哲学路径。

它们的历史是一部跨越世纪、融合智慧、充满竞争与协作的壮丽史诗。

一、对数的诞生：纳皮尔的革命性构想对数的起源可追溯至16世纪末。

当时天文学家、航海家和工程师面临一个共同难题：如何高效处理大数的乘除运算。

在没有计算器甚至没有机械计算机的时代计算两个多位数的乘积可能耗时数小时且极易出错。

正是在这样的背景下苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier）于1614年发表了《奇妙的对数定律说明书》（Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio）首次系统地提出了“对数”的概念。

纳皮尔的初衷并非为了抽象数学而是为了解决实际计算问题。

他观察到等比数列与等差数列之间存在一种对应关系：如果一个数列是等比的（如1 10 100 1000…）其指数部分（0 1 2 3…）构成等差数列。

通过这种对应乘法可以转化为加法——这正是对数的核心思想。

然而纳皮尔最初定义的对数并非以10或e为底而是一种复杂的、基于运动学模型的构造。

他的对数本质上是自然对数的雏形但形式极为繁琐难以直接应用。

二、布里格斯与常用对数（lg）的诞生纳皮尔的工作很快引起了英国数学家亨利·布里格斯（Henry Briggs）的注意。

布里格斯意识到如果将对数的底数改为10将极大提升其实用性。

1615年他专程前往苏格兰与纳皮尔会面两人共同探讨改进方案。

纳皮尔欣然接受布里格斯的建议并支持以10为底的对数系统。

在纳皮尔于1617年去世后布里格斯独自承担起完善和推广新对数体系的重任。

他于1624年出版了《对数算术》（Arithmetica Logarithmica）其中包含了从1到20000以及90000到100000的常用对数表精确到14位小数。

这本巨着迅速成为科学家和工程师的“计算圣经”。

布里格斯选择以10为底原因十分现实：人类自古以来使用十进制计数系统。

以10为底的对数（即lg）与数字的位数直接相关。

例如lg(100) = 2lg(1000) = 3这种直观性使得人们可以迅速估算数量级。

更重要的是乘除运算通过查表转化为加减极大提升了计算效率。

在随后的三个世纪里常用对数成为科学计算的基石。

对数表被广泛印制计算尺（以对数刻度为基础）成为工程师的标准工具。

在航天、建筑、航海等领域lg的“实用性”无可替代。

三、自然对数（ln）的悄然兴起就在常用对数风靡科学界的同时另一种对数体系正在数学的深处悄然生长——这就是以自然常数e为底的自然对数（ln）。

e的出现最初与复利计算有关。

17世纪数学家们研究“连续复利”问题：如果一笔钱以100%年利率连续计息一年后本息是多少？雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在1683年首次提出这个问题并发现其极限值趋近于一个无理数后来被记作e（约为2.）。

真正将e与对数联系起来的是莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）和约翰·伯努利（Johann Bernoulli）。

他们在发展微积分的过程中发现函数y = 1/x的积分无法用多项式表达但其积分结果恰好是自然对数函数ln(x)。

这一发现揭示了ln在分析学中的核心地位。

与lg不同ln并非为简化计算而生而是从数学内在结构中自然涌现。

它在微分和积分中表现出非凡的简洁性：例如d(ln x)/dx = 1/x而∫(1/x)dx = ln|x| + C。

这种“天然”的数学美感使得ln成为理论数学、物理学和高等工程学中的首选工具。

四、两种对数的交汇与分野18世纪随着微积分的成熟数学家们开始系统研究对数函数的性质。

欧拉（Leonhard Euler）在1748年的《无穷小分析引论》中首次明确将e定义为自然对数的底并推导出着名的欧拉公式：e^(ix) = cos x + i sin x将指数函数与三角函数深刻联系起来。

与此同时常用对数仍在应用领域占据主导。

19世纪随着电报、铁路、工业革命的推进工程师们依赖对数表进行设计计算。

分贝（dB）、pH值、里氏震级等科学单位均以lg为基础体现了其在量化“数量级”方面的优势。

20世纪初随着计算机的出现计算方式发生根本变革。

对数表和计算尺逐渐被电子设备取代。

然而lg并未消失而是以新的形式延续其生命力：在计算机科学中对数尺度用于数据可视化；在信息论中以2为底的对数（log?）成为主流但lg仍用于表示信息熵的十进制单位（哈特）。

而ln则在理论物理、量子力学、统计学和微分方程中愈发重要。

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